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数学の特に環論と呼ばれる抽象代数学の一分野における（非可換）整域あるいは域（いき、）とは、右または左零因子を持たない（つまり ''ab'' = 0 ならば ''a'' = 0 または ''b'' = 0 が成り立つ〔Polcino M. & Sehgal (2002), p. 65.〕、零積律を満たすとも言われる）環のことを言う。しばしば自明でない（一つよりも多くの元を持つ）ことを仮定する〔Lanski (2005), p. 343, Definition 10.18.〕が、域が乗法単位元を持つならば、この仮定は 1 ≠ 0 と同値〔Jacobson (2009), p. 90, Section 2.2. Note that if 1=0, then a=1a=0a=0 showing that all elements are 0.〕であり、この場合の域は「左または右零因子を持たない非自明な環」のことになる。1(≠ 0) を持つ可換域は（可換）整域と呼ばれる〔Rowen (1994), p. 99.〕〔。 有限域は自動的に有限体になる（ウェダーバーンの小定理）。 零因子について（少なくとも可換環の場合には）位相幾何学的な解釈をすることができる。環 ''R'' が可換整域となるための必要十分条件は、''R'' が被約環（つまり冪零元を持たない環）であり、かつそのスペクトル Spec ''R'' が既約位相空間となることである。前者の性質はある種の無限小の情報を保有しているとしばしば考えられ、対して後者はより幾何学的な情報を与えている。例えば、体 ''k'' 上の環 ''k''''y'' /(''xy'') は整域でない（''x'' および ''y'' の属する類が零因子を与える）が、これは幾何学的にはこの環のスペクトルが既約でない（実際に、二つの既約成分である直線 ''x'' = 0 と ''y'' = 0 の和となる）ことに対応する。 == 域の構成 == 環が域であることを示す方法の一つは、特別な性質を持つフィルター付け（フィルトレーション）を提示することである。 ; 定理 : ''R'' がフィルター付き環で、付随する次数環 gr ''R'' が域ならば、''R'' 自身が域を成す。 この定理を利用するには、次数環 gr ''R'' を調べる必要がある。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「非可換整域」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Domain (ring theory) 」があります。 スポンサード リンク
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